Кирпичи Эйлера

Как-то раз случайно наткнулся на видео, не помню уж про что оно было, но упомянуто в нем было в том числе и про одну из нерешенных математических проблем. Как раз про совершенный кирпич Эйлера.

Кратко: суть состоит в решение системы четырех диофантовых уравнений второй степени. Это решение соответствует параллелепипеду, у которого все стороны и диагонали являются натуральными числами.

В общем, на текущий момент математики так и не нашли доказательства как существования совершенного кирпича, так и его невозможности.

Естественно, есть соблазн найти такой кирпич с помощью грубой силы. А раз есть соблазн, значит, есть и те, кто попытается им воспользоваться.
К сожалению, на текущий момент найти совершенный кирпич Эйлера таким методом тоже не удалось. И даже дойти до границы 64-битных чисел для длин сторон кирпича тоже.
Что, если честно, меня несколько удивило. Ведь производительность современных компьютеров просто край как высока. Несколько десятков миллиардов целочисленных операций в секунду.

Естественно, я не удержался и решил сам попробовать, не мудрствуя лукаво, грубой силой в лоб. Ну и в общем да, получил то, что и следовало ожидать: два вложенных цикла – это совсем не быстро, даже с учетом того, что память при таких вычислениях мало задействована.
Оптимизация на ассемблере существенно ускорила вычисления, но, конечно, кардинально решить проблему не смогла: слишком высока размерность задачи.

Больше всего издержек при такой попытке поиска кирпичей Эйлера уходит на проверку того, будет ли целым корень из квадрата длины диагонали.
И тут, по крайней мере, пока квадрат длины не выходит за границы 64-битого беззнакового целого, очень помогают вычисления с плавающей точкой.
Сначала я сделал это на расширенном типе с плавающей точкой (extended), являющейся фишкой x87, так как 64-битное беззнаковое целое можно без какой-либо потери точности загрузить в регистр сопроцессора. Еще подумал: "О, вот и старенький x87 может для чего-нибудь пригодиться".
Однако потом в процессе тестов выяснил, что с достаточной степенью точности для данной задачи корни можно вычислять и на типе double. Впрочем, особой разницы в производительности не увидел.

Но, как только мы выйдем за границы 64 бит для квадратов длин диагоналей, вот возможно там тип extended, вместе с x87 и сгодится.
Целочисленные методы вычисления квадратного корня на основе метода Ньютона (он же вавилонский, он же Герона), даже при хорошем начальном приближении требуют минимум двух итераций с делением, что получается гораздо медленнее, чем с плавающей точкой. Главное, что бы хватало точности у этой самой плавающей точки. И вот тут я не уверен, что ближе к верхней границе 128-битного целого точности даже extended будет достаточно.

В практическом же смысле толку от этих самых кирпичей Эйлера я не вижу. Разве что в холода использовать комп в качестве нагревателя. )
И вот идея: так как кирпичи Эйлера трудно вычислимы, почему бы их не использовать в качестве криптовалюты? Тот же специальный вид криптографического хеша тоже особого смысла не имеет. А на майнинг опять же биткойнов потрачено, наверное, уже несколько тераватт*часов электроэнергии.
При этом хоть какую-то ценность все эти криптовалюты имеют до тех пор, пока у достаточно значительной части населения есть вера в крипту хотя бы с горчичное зерно. Как только такая вера пропадет, стоимость крипты мгновенно обнулится.

Кирпичи Эйлера тут ничем не лучше, но в процессе их расчета может хотя бы получилось решить одну их серьезных математических проблем.

Кстати, большого списка примитивных кирпичей Эйлера я так и не нашел. Наверняка он есть, это мне просто искать лень. Если я на первых двух страницах поисковой выдачи не нахожу нужного мне результата, то сразу как-то теряю интерес к процессу поиска. )
Так я делаю, конечно, когда ищу что-то не сильно важное. А кирпичи Эйлера – это тот самый случай.
Так что выложу те кирпичи, которые я в процессе своих экспериментов насчитал. По ссылке лежат примитивные кирпичи, отсортированные по возрастанию нечетной стороны, далее  для каждого  кирпича указаны меньшая четная, затем большая. Ну и длины диагоналей.
Так как внешний цикл у меня был по нечетной стороне, то остановился я на таком размере, что бы все возможные варианты квадратов диагоналей с учетом четных сторон не превышали диапазона 64-битных чисел.
Возможно, где-то ошибся в программе, так что абсолютно точно не уверен, что нашел все примитивные кирпичи для указанных условий.

Ну и немного статистики. Выяснилось, что примерно 80% длин дают только один вариант кирпича, а вот оставшиеся 20% – несколько. Интересно, что это за числа и чем вызвано такое их свойство? Не знаю, есть ли у математиков ответ на такой вопрос.
Лидером среди нечетных длин является число 51975 – оно дает 12 различных кирпичей, или 24 пифагоровых тройки. Далее идут 32175 и 58905 – по 11 кирпичей.
Четные числа немного отстают. Лидер тут 23760  – 11 кирпичей, 71280 – 9, и у 55440 и 118800 – по 8. Причем такое свойство гораздо чаще встречается у стороны, кратной 16, чем у стороны, кратной лишь только четырем.
Лидер, кратный 4 - 33660, дает 7 кирпичей.

Из найденных вариантов самый близкий к совершенному варианту оказался кирпич с длинами сторон 37835, 269280 и 1244484. Главная диагональ у него 1273846.00006476, что совсем близко к целому числу.
Это дает надежду, что совершенный кирпич Эйлера все же существует. Но скорее всего длины сторон лежат за пределами 64-битных целых, так как значительная часть этого диапазона уже проверена исследователями.
А вот в диапазоне 128-битных целых такой кирпич вполне может прятаться.